Динамическое поведение маятниковой двухзвенной системы с качением на границе области устойчивости

Abstract

Рассматривается четырёхмерная система, две двухмерные подсистемы которой при некоторых значениях параметров ведут себя как осцилляторы. На границе области устойчивости пространства параметров матрица линеаризованной части уравнения возмущенного движения имеет два чисто мнимые корня и два комплексные корня с отрицательною действительной частью. Методом разбиения границы на «опасные» и «безопасные» (в смысле М. М. Баутина) участки выделены два случая: 1) с увеличением скорости характерной точки неустойчивый предельный цикл, уменьшаясь в размерах, «садится» на начало координат, которое является особой точкой векторного поля фазовых скоростей, так что при закритических скоростях точка фазового пространства срывается с состояния равновесия и отбрасывается на достаточно большое расстояние; 2) случай мягкой бифуркации Андронова-Хопфа связанных с появлением в области устойчивости предельного цикла.

Розглядається чотиривимірна система, дві двовимірні підсистеми якої при деяких значеннях параметрів ведуть себе як осцилятори. На границі області стійкості простору параметрів матриця лінеаризованої частини рівняння збуреного руху має два суто уявні корені і два комплексні корені з від'ємною дійсною частиною. Шляхом розбиття границі на «небезпечні» та «безпечні» (в розумінні М. М. Баутіна) ділянки виділено два випадки: 1) із збільшенням швидкості руху характерної точки нестійкий граничний цикл, зменшуючись в розмірах, "сідає" на початок координат, який є особливою точкою векторного поля фазових швидкостей, так що при закритичних швидкостях точка фазового простору зривається зі стану рівноваги і відкидається на досить велику відстань: 2) випадок м'якої біфуркації Андронова-Хопфа з появою в області нестійкості стійкого граничного циклу.

Four-dimensional system whose two-dimensional subsystems under certain values of parameters behave as oscillators is considered. A matrix of the linearized part of the disturbed motion equation on the boundary of the parameters space stability has two purely imaginary roots and two complex roots with a negative real part. Two cases are distinguished by division of the boundary into «dangerous» and «safe» (in the sense of N. N. Bautin) sites: 1) unstable limiting cycle decreasing in its size with the growth of the velocity motion of a characteristic point «sits» at the beginning of the coordinates that are irregular point of vector field of phase velocities so that the point of the phase at the postcritical velocities becomes disbalanced and is thrown of at a sufficiently far distance; 2) a case of soft Andronov-Hopf bifurcation with the appearance of a stable limiting cycle in the instability region.